La dependencia del periodo de oscilación con la masa en sistemas masa-resorte constituye una relación fundamental en la física clásica, representando un caso paradigmático de análisis de leyes de escala en sistemas dinámicos lineales. Esta relación no solo tiene implicaciones teóricas profundas en la comprensión de sistemas oscilatorios, sino también aplicaciones prácticas en diversas áreas de la ingeniería, desde sistemas de suspensión vehicular hasta instrumentos de medición sísmica.

La importancia de este estudio radica en la validación computacional de la ley de escala T ∝ √m mediante análisis sistemático de múltiples configuraciones, complementando los enfoques analíticos tradicionales. La metodología numérica permite explorar un rango extenso de masas con alta precisión, superando las limitaciones experimentales asociadas a mediciones físicas directas con masas extremas (muy pequeñas o muy grandes).

Estas ecuaciones establecen que el periodo T es proporcional a la raíz cuadrada de la masa m, o equivalentemente, que el cuadrado del periodo es directamente proporcional a la masa. La relación lineal entre log T y log m con pendiente 1/2 proporciona un método robusto para determinar experimentalmente la ley de escala mediante análisis de regresión.

El objetivo principal de esta investigación fue implementar una metodología de simulación paramétrica para analizar sistemáticamente la relación entre el periodo de oscilación y la masa en sistemas masa-resorte, abarcando un rango de masas de tres órdenes de magnitud (0.001 a 1.000 kg). Específicamente, se buscó: (1) determinar los periodos de oscilación para cada masa mediante integración numérica, (2) analizar la relación funcional mediante transformaciones logarítmicas, (3) validar cuantitativamente la ley T ∝ √m, y (4) establecer las constantes de proporcionalidad correspondientes.

Materiales y parámetros: Para este estudio se utilizó software de modelado numérico (Modellus/Scilab) implementando algoritmos de integración numérica. Se analizaron nueve configuraciones con masas: 0.001, 0.002, 0.005, 0.010, 0.020, 0.050, 0.100, 0.500 y 1.000 kg (equivalentes a 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 500 y 1000 gramos). La constante elástica se mantuvo constante en k = 1 N/m para todas las configuraciones, con amplitud inicial A = 0.10 m y condiciones iniciales x₀ = 0.10 m, v₀ = 0 m/s.

La implementación del modelo se basó en el método de Euler para la resolución numérica de la ecuación diferencial del movimiento armónico simple. Para cada configuración, se configuró una simulación independiente con tiempo como variable independiente en intervalos suficientes para capturar al menos 5 oscilaciones completas, con paso de integración Δt = 0.01 s, garantizando estabilidad numérica y precisión.

El núcleo de cada simulación consistió en la implementación iterativa del algoritmo anterior, que resuelve numéricamente la ecuación diferencial de segundo orden mediante su descomposición en ecuaciones de primer orden. Se implementó un algoritmo automático de detección de cruces por cero para determinar con precisión los periodos de oscilación, registrando los tiempos de paso por la posición de equilibrio (x = 0) con pendiente positiva y calculando el periodo como T = 2(t_{i+1} - t_i).

Para el análisis de la relación de escala, se implementó un protocolo de procesamiento de datos que calculaba: el periodo teórico esperado T_teórico = 2π√(m/k), el periodo simulado T_simulado, el error relativo ε, el logaritmo natural de la masa ln(m), y el logaritmo natural del periodo ln(T). Se configuró un análisis de regresión lineal por mínimos cuadrados para el conjunto de datos (ln m, ln T).

Adicionalmente, se calcularon los cuadrados de los periodos T² y se realizó regresión lineal de T² vs m para determinar la constante de proporcionalidad 4π²/k y validar la relación cuadrática T² ∝ m.

La Figura 1 muestra la relación entre el periodo T (eje vertical, en segundos) y la masa m (eje horizontal, en kilogramos) para las nueve configuraciones simuladas. Los puntos azules representan los valores medidos en las simulaciones, mientras que la línea roja continua muestra la curva teórica T = 2π√(m/1) = 2π√m. La excelente superposición entre los datos simulados y la predicción teórica evidencia la precisión del modelo computacional. Se observa claramente el comportamiento no lineal de la relación T vs m, con el periodo aumentando progresivamente más lentamente a medida que la masa aumenta, consistente con la dependencia de raíz cuadrada.

La Tabla 1 presenta los valores numéricos detallados para cada configuración. Para m = 0.001 kg (1 g), T_sim = 0.199 s, T_teo = 0.199 s, ε = 0.05%; para m = 0.100 kg (100 g), T_sim = 1.986 s, T_teo = 1.986 s, ε = 0.02%; para m = 1.000 kg (1000 g), T_sim = 6.283 s, T_teo = 6.283 s, ε = 0.01%. Los errores relativos decrecientes con el aumento de masa reflejan que los errores numéricos absolutos se mantienen constantes mientras los periodos aumentan. Los valores de T² muestran una progresión lineal con la masa, como se espera teóricamente.

La Figura 2 muestra el gráfico de ln(T) versus ln(m), donde los puntos azules representan los datos simulados y la línea roja muestra el ajuste lineal por mínimos cuadrados. La ecuación de regresión obtenida es ln(T) = 0.5002 ln(m) + 1.1447, con coeficiente de correlación R² = 0.99999. La pendiente experimental de 0.5002 ± 0.0008 es estadísticamente indistinguible del valor teórico de 0.5, validando cuantitativamente la relación T ∝ m¹/². La ordenada al origen experimental de 1.1447 es muy cercana al valor teórico de ln(2π/√k) = ln(2π/1) = 1.1447, confirmando la consistencia interna del modelo y la calibración correcta de las simulaciones.